Аналитическая геометрия/Векторное произведение

Векторное произведение - вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой.

Векторное произведение двух векторов ${\displaystyle a,b}$ - вектор ${\displaystyle c}$:

1. ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]=|a|*|b|*sin{\varphi }={\vec {c}}}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — угол между векторами.
2. ${\displaystyle {\vec {c}}}$ ортогонален ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$;
3. Тройка векторов: ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {c}}}$ - правая.

1. ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]}$
2. ${\displaystyle [\lambda *{\vec {a}},{\vec {b}}]=\lambda [{\vec {a}},{\vec {b}}]}$
3. ${\displaystyle [{\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {c}}]=[{\vec {a}},{\vec {c}}]+[{\vec {b}},{\vec {c}}]}$
4. ${\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {a}}]=0}$

Тождество Якоби: ${\displaystyle [[{\vec {a}},{\vec {b}}],{\vec {c}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],{\vec {b}}]+[[{\vec {b}},{\vec {c}}],{\vec {a}}]=0}$.

Тождество Лагранжа: ${\displaystyle [{\vec {a}},[{\vec {b}},{\vec {c}}]]={\vec {b}}*({\vec {a}},{\vec {c}})-{\vec {c}}*({\vec {a}},{\vec {b}})}$.

${\displaystyle |[{\vec {a}},{\vec {b}}]|^{2}+({\vec {a}},{\vec {b}})^{2}=|{\vec {a}}|^{2}*|{\vec {b}}|^{2}}$.