Основы алгебры/Дискриминант

Дискримина́нт многочлена ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}$, есть произведение

${\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$, где ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}}$ — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
• ${\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')}$, где ${\displaystyle R(p,p')}$ — результант многочлена ${\displaystyle p(x)}$ и его производной ${\displaystyle p'(x)}$.
  • В частности, дискриминант многочлена

${\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

равен, с точностью до знака, определителю следующей ${\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}$-матрицы:

1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	.	.	0
0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	.	0
0	0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	${\displaystyle a_{n-1}}$	${\displaystyle a_{n-2}}$	.	.	.	${\displaystyle a_{0}}$
${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	.	.	0
0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	.	0
0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$	0
0	0	0	0	0	0	${\displaystyle n}$	${\displaystyle (n-1)a_{n-1}}$	${\displaystyle (n-2)a_{n-2}}$	.	.	${\displaystyle a_{1}}$

• Дискриминант D квадратного трёхчлена ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ равен ${\displaystyle b^{2}-4ac}$. При ${\displaystyle D>0}$ корней — два, и они вычисляются по формуле

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};}$ (1)

• при ${\displaystyle D=0}$ корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

  ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}};}$

• при ${\displaystyle D<0}$ вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

  ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}.}$

• Дискриминант многочлена ${\displaystyle a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$ равен

${\displaystyle -4a_{1}^{3}a_{3}+a_{1}^{2}a_{2}^{2}-4a_{0}a_{2}^{3}+18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}-27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.}$

• В частности, дискриминант многочлена ${\displaystyle x^{3}+px+q}$ (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен ${\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}$.