Интегральное исчисление/Некоторые часто используемые формулы

В этой главе под буквами подразумеваются, если это не указано явно, не только действительные числа, но и другие математические объекты, для которых указанные операции имеют смысл, например, это могут быть многочлены и т. п.

Справедливы следующие тождества:

• Переместительный (коммутативный) закон сложения:

${\displaystyle a+b=b+a.}$(Д1.1)

• Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c.}$(Д1.2)

• Переместительный (коммутативный) закон умножения:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a.}$(Д1.3)

• Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.}$(Д1.4)

• Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:

${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c.}$(Д1.5)

Здесь предполагается, что знаменатели дробей не обращаются в 0.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a:b.}$(Д1.6)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}={\frac {a:c}{b:c}}.}$(Д1.7)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot c={\frac {ac}{b}}.}$(Д1.8)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:c={\frac {a}{bc}}.}$(Д1.9)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}.}$(Д1.10)

В частности,

    ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{b}}={\frac {a\pm c}{b}}.}$(Д1.11)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$(Д1.12)

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.}$(Д1.13)

Из отношения, называемого пропорцией,

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$(Д1.14)

следует, что

${\displaystyle ad=bc}$ или ${\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}.}$(Д1.15)

Производные пропорции:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Rightarrow {\frac {ka+lb}{ma+nb}}={\frac {kc+ld}{mc+nd}},}$(Д1.16)

где ${\displaystyle m,\;n}$ такие, что ${\displaystyle ma+nb\neq 0,\;mc+nd\neq 0}$.

В частности,

    ${\displaystyle {\frac {a\pm b}{b}}={\frac {c\pm d}{d}};}$(Д1.17)

    ${\displaystyle {\frac {a\pm b}{a\mp b}}={\frac {c\pm d}{c\mp d}}.}$ (знаки в числителе и знаменателе независимы)(Д1.18)

(Для правой и левой частей берутся либо только верхние знаки, либо только нижние.)

В общем:

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\Rightarrow {\frac {k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\ldots +k_{n}a_{n}}{k_{1}b_{1}+k_{2}b_{2}+\ldots +k_{n}b_{n}}}.}$(Д1.19)

В частности,

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}\Rightarrow {\frac {\pm a_{1}\pm a_{2}\pm \ldots \pm a_{n}}{\pm b_{1}\pm b_{2}\pm \ldots \pm b_{n}}}.}$(Д1.20)

(Знаки в знаменателе должны повторять соответствующие знаки в числителе.)

Предполагается, что операции допустимы.

${\displaystyle a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.}$(Д1.21)

${\displaystyle {\frac {a^{\alpha }}{a^{\beta }}}=a^{\alpha -\beta }.}$(Д1.22)

${\displaystyle (a^{\alpha })^{\beta }=a^{\alpha \cdot \beta }.}$(Д1.23)

${\displaystyle (a\cdot b)^{\alpha }=a^{\alpha }\cdot b^{\alpha }.}$(Д1.24)

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{\alpha }={\frac {a^{\alpha }}{b^{\alpha }}}.}$(Д1.25)

Считается, что

${\displaystyle 1^{\alpha }=1,\quad 0^{\alpha }=0}$  (выражение ${\displaystyle 0^{0}}$ — неопределено!),    ${\displaystyle a^{1}=a,\quad a^{0}=1,\quad a^{-1}={\frac {1}{a}}\;(a\neq 0);}$(Д1.26)

${\displaystyle a^{+\infty }={\begin{cases}+\infty ,&a>1;\\0,&0<a<1;\end{cases}}\quad a^{-\infty }={\begin{cases}0,&a>1;\\+\infty ,&0<a<1.\end{cases}}}$(Д1.27)

Бином Ньютона:

${\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+\ldots +C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\ldots +b^{n}=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}a^{n-m}b^{m},}$(Д1.28)

где ${\displaystyle C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$ — количество сочетаний из ${\displaystyle n}$ элементов по ${\displaystyle m}$ в каждом, или биномиальные коэффициенты; ${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n}$ — факториал числа ${\displaystyle n}$. По определению, ${\displaystyle 0!=1}$.

Для степени разности будем иметь:

${\displaystyle (a-b)^{n}=a^{n}-C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}-\ldots +(-1)^{k}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\ldots +(-1)^{n}b^{n}.}$(Д1.29)

Числа ${\displaystyle C_{n}^{m}}$ образуют, так называемый треугольник Паскаля. Как видно из рисунка Д1.1, каждая последующая строка образуется при добавлении по краям единиц и суммированием двух последовательных членов предыдущего ряда.

Частные случаи формул (Д1.28) и (Д1.29):

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ — квадрат суммы;(Д1.30)

${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}$ — квадрат разности;(Д1.31)

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$ — куб суммы;(Д1.32)

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}$ — куб разности;(Д1.33)

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}}$ — биквадрат суммы;(Д1.34)

${\displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}}$ — биквадрат разности.(Д1.35)

Формулу бинома можно обобщить на случай, так называемых мультиномов:

${\displaystyle (a+b+\ldots +c)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}k_{1},\;k_{2},\;\ldots ,\;k_{m}\geqslant 0,\\k_{1}+k_{2}+\ldots +k_{m}=n\end{smallmatrix}}{\binom {n}{k_{1},\;k_{2},\;\ldots ,\;k_{m}}}a^{k_{1}}b^{k_{2}}\ldots c^{k_{m}},}$(Д1.36)

где ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\;k_{2},\;\ldots ,\;k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\ldots k_{m}!}}}$ — обобщённые биномиальные коэффициенты, или мультиномиальные коэффициенты.

В частности,

${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}$(Д1.37)

При ${\displaystyle n=3}$ мультиномиальные коэффициенты (в этом случае они называются «триномиальные») образуют пирамиду Паскаля.

Исходя из правил деления многочленов, можно получить следующие формулы для алгебраической суммы степеней:

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1});}$(Д1.38)

${\displaystyle a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^{2}-\ldots -ab^{2k-1}+b^{2k}).}$(Д1.39)

${\displaystyle a^{2k}-b^{2k}=(a-b)(a^{2k-1}+a^{2k-2}b+a^{2k-3}b^{2}+\ldots +ab^{2k-2}+b^{2k-1});}$(Д1.40)

В частности,

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$ — разность квадратов;(Д1.41)

${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}$ — разность кубов;(Д1.42)

${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$ — сумма кубов;(Д1.43)

${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a^{3}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3})=(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})}$ — разность биквадратов.(Д1.44)

• Среднее арифметическое:

${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}.}$(Д1.45)

• Среднее взвешенное:

${\displaystyle V={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}},}$(Д1.46)

где ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\neq 0}$.

Среднее арифметическое является частным случаем среднего взвешенного при ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=1}$.

• Среднее геометрическое:

${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}=(x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n})^{\frac {1}{n}},}$(Д1.47)

где ${\displaystyle x_{1}\geqslant 0,\;x_{2}\geqslant 0,\;\ldots ,\;x_{n}\geqslant 0}$.

• Среднее взвешенное геометрическое:

${\displaystyle S=(x_{1}^{a_{1}}\cdot x_{2}^{a_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{a_{n}})^{\frac {1}{s}},}$(Д1.48)

где ${\displaystyle x_{1}\geqslant 0,\;x_{2}\geqslant 0,\;\ldots ,\;x_{n}\geqslant 0}$, ${\displaystyle s=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}$.

Среднее геометрическое является частным случаем среднего взвешенного геометричесокго при ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}=1}$.

• Среднее гармоническое:

${\displaystyle H={\frac {n}{{\dfrac {1}{x_{1}}}+{\dfrac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\dfrac {1}{x_{n}}}}}.}$(Д1.49)

• Среднее квадратичное:

${\displaystyle K={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}.}$(Д1.50)

Имеет место следующее неравенство (неравенство Коши):

${\displaystyle {\frac {n}{{\dfrac {1}{x_{1}}}+{\dfrac {1}{x_{2}}}+\ldots +{\dfrac {1}{x_{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}.}$(Д1.51)

Абсолютной величиной, или модулем ${\displaystyle |x|}$ называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2) такая, что

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&x\geqslant 0;\\-x,&x<0.\end{cases}}}$(Д1.52)

Альтернативное определение:

${\displaystyle |x|=\max\{x,\;-x\}.}$(Д1.53)

Модулем комплексного числа ${\displaystyle z=x+yi}$ называется выражение вида:

${\displaystyle |z|=|x+yi|={\sqrt {(\mathrm {Re} \,z)^{2}+(\mathrm {Im} \,z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$(Д1.53)

Геометрически (рисунок Д1.3) модуль числа ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}$ равен расстоянию между точками ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, ${\displaystyle |x|}$ — это расстояние от точки вещественной прямой с координатами ${\displaystyle x}$ до начала координат ${\displaystyle O}$.

${\displaystyle |x|\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle |x|=0}$, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$.(Д1.54)

${\displaystyle |x\cdot y|=|x|\cdot |y|.}$(Д1.55)

${\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}},\quad y\neq 0.}$(Д1.56)

• Если существует ${\displaystyle x^{\alpha }}$, то

${\displaystyle |x^{\alpha }|=|x|^{\alpha }.}$(Д1.57)

${\displaystyle {\sqrt[{2k}]{x^{2k}}}=|x|.}$(Д1.58)

${\displaystyle {\sqrt[{2k+1}]{-x}}=-{\sqrt[{2k+1}]{|x|}}.}$(Д1.59)

${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}$ — неравенство треугольника.(Д1.60)

Имеет место и более общее свойство:

${\displaystyle |x+y+\ldots +z|\leqslant |x|+|y|+\ldots +|z|}$ или ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{m}x_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{m}|x_{i}|.}$(Д1.61)

${\displaystyle ||x|-|y||\leqslant |x-y|}$ — обратное неравенство треугольника.(Д1.62)

В некоторых задачах часто возникает потребность избавится от иррациональности в числителе или знаменателе в выражении вида ${\displaystyle {\frac {P}{Q}}}$, где ${\displaystyle P}$ и/или ${\displaystyle Q}$ содержит радикалы.

Основным методом уничтожения иррациональности является метод умножения на сопряжённый множитель.

Сопряжённым множителем относительно выражения ${\displaystyle S}$, содержащего радикалы, называется такое выражение ${\displaystyle K\not \equiv 0}$, что выражение ${\displaystyle S\cdot K}$ не содержит радикалов.

• Для выражения вида

${\displaystyle S={\sqrt[{n}]{X^{p}Y^{q}\cdot \ldots \cdot Z^{l}}},}$(Д1.63)

где ${\displaystyle p,\;q,\;\ldots ,\;l,\;n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle p,\;q,\;\ldots ,\;l<n}$, сопряжённый множитель будет иметь вид:

${\displaystyle K={\sqrt[{n}]{X^{n-p}Y^{n-q}\cdot \ldots \cdot Z^{n-l}}}.}$(Д1.64)

Действительно, домножив ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle K}$, получим:

${\displaystyle S\cdot K=X\cdot Y\cdot \ldots \cdot Z.}$(Д1.65)

• Для выражения вида

${\displaystyle S={\sqrt[{n}]{X}}\pm {\sqrt[{n}]{Y}}}$(Д1.66)

сопряжённый множитель находится, исходя из формул (Д1.38)—(Д1.40).

Для выражения

${\displaystyle S={\sqrt[{n}]{X}}-{\sqrt[{n}]{Y}}}$(Д1.67)

сопряжённый множитель

${\displaystyle K={\sqrt[{n}]{X^{n-1}}}+{\sqrt[{n}]{X^{n-2}\cdot Y}}+\ldots +{\sqrt[{n}]{X\cdot Y^{n-2}}}+{\sqrt[{n}]{Y^{n-1}}}.}$(Д1.68)

Для выражения

${\displaystyle S={\sqrt[{2k}]{X}}+{\sqrt[{2k}]{Y}}}$(Д1.69)

сопряжённый множитель

${\displaystyle K={\sqrt[{2k}]{X^{2k-1}}}-{\sqrt[{2k}]{X^{2k-2}\cdot Y}}+\ldots +{\sqrt[{2k}]{X\cdot Y^{2k-2}}}-{\sqrt[{2k}]{Y^{2k-1}}}.}$(Д1.70)

Для выражения

${\displaystyle S={\sqrt[{2k+1}]{X}}+{\sqrt[{2k+1}]{Y}}}$(Д1.71)

сопряжённый множитель

${\displaystyle K={\sqrt[{2k+1}]{X^{2k}}}-{\sqrt[{2k+1}]{X^{2k-1}\cdot Y}}+\ldots -{\sqrt[{2k+1}]{X\cdot Y^{2k-1}}}+{\sqrt[{2k+1}]{Y^{2k}}}.}$(Д1.72)

В частности, для выражения

${\displaystyle S={\sqrt {X}}\pm {\sqrt {Y}}}$(Д1.73)

сопряжённый множитель равен:

${\displaystyle K={\sqrt {X}}\mp {\sqrt {Y}},}$(Д1.74)

а для выражения

${\displaystyle S={\sqrt[{3}]{X}}\pm {\sqrt[{3}]{Y}}}$(Д1.75)

имеет вид:

${\displaystyle K={\sqrt[{3}]{X^{2}}}\mp {\sqrt[{3}]{X\cdot Y}}+{\sqrt[{3}]{Y^{2}}}.}$(Д1.76)

Сопряжённый множитель для выражений вида

${\displaystyle S={\sqrt[{n}]{X}}\pm {\sqrt[{m}]{Y}},}$(Д1.77)

где ${\displaystyle n\neq m}$, можно найти по формулам, аналогичным указанным выше, если предварительно представить исходное выражение как:

${\displaystyle S={\sqrt[{k}]{X^{p}}}\pm {\sqrt[{k}]{Y^{s}}},}$(Д1.78)

где ${\displaystyle k}$ — наименьшее общее кратное (НОК) чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$; ${\displaystyle p={\frac {k}{n}},\;s={\frac {k}{m}}}$.

Также для преобразований бывает полезна формула сложного радикала:

${\displaystyle {\sqrt {A\pm {\sqrt {B}}}}={\sqrt {\frac {A+{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {A-{\sqrt {A^{2}-B}}}{2}}},}$(Д1.79)

где ${\displaystyle A\geqslant 0,\;B\geqslant 0,\;A^{2}\geqslant B}$.

При преобразовании радикалов важно помнить, что:

${\displaystyle {\sqrt[{2k}]{X^{2k}}}=|X|;}$(Д1.80)

${\displaystyle {\sqrt[{2k+1}]{-X}}=-{\sqrt[{2k+1}]{|X|}}.}$(Д1.81)