Интегральное исчисление/Таблица интегралов

Как уже было сказано ранее, дифференцирование и интегрирование являются взаимообратными операциями (но неоднозначными), поэтому основные интегралы можно получить непосредственным обращением таблицы производных:

${\displaystyle \int 0\,dx=C.}$(3.1)

${\displaystyle \int a\,dx=ax+C.}$(3.2)

${\displaystyle \int x^{\alpha }\,dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\quad \alpha \in \mathbb {R} ,\;\alpha \neq -1.}$(3.3)

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C,\quad x\neq 0.}$(3.4)

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C,\quad a>0,\;a\neq 1.}$(3.5)

• В частности

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}$(3.5')

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{a}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x}{a}}+C_{1}=-{\frac {1}{a}}\,\mathrm {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+C_{2}={\frac {1}{a}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {a+x}{a-x}}+C_{3}={\frac {1}{a}}\,\mathrm {arctg} \,{\frac {x-a}{x+a}}+C_{4}.}$^[1](3.6)

• В частности

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C_{1}=-\mathrm {arcctg} \,x+C_{2}.}$(3.6')

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C,\quad x\neq \pm a.}$(3.7)

• В частности

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-1}}={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x-1}{x+1}}\right|+C,\quad x\neq \pm 1.}$(3.7')

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {\frac {x}{a}}+C_{1}=-\arccos {\frac {x}{a}}+C_{2}.}$^[2](3.8)

• В частности

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}.}$(3.8')

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|+C=\mathrm {arsh} \,{\frac {x}{a}}+C.}$(3.9)

• В частности

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+1}}|+C=\mathrm {arsh} \,x+C.}$(3.9')

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C=\mathrm {arch} \,{\frac {x}{a}}+C,\quad x\geqslant a.}$(3.10)

• В частности

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C=\mathrm {arch} \,x+C,\quad x\geqslant 1.}$(3.10')

${\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C.}$(3.11)

${\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C.}$(3.12)

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\int \sec ^{2}x\,dx=\mathrm {tg} \,x+C,\quad x\neq {\frac {\pi n}{2}},\;n\in \mathbb {Z} .}$(3.13)

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=\int \mathrm {cosec} ^{2}\,x\,dx=-\,\mathrm {ctg} \,x+C,\quad x\neq \pi n,\;n\in \mathbb {Z} .}$(3.14)

Более полная таблица приведена в «Списке интегралов элементарных функций» или, например, в справочнике «Таблицы интегралов и другие математические функции» Г. Б. Двайта.