Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Задачи

вектор а (1,2,0 ) вектор b (0,-1,1 ) вектор c (2,3,2 )

1. Дана система уравнений:
   
   ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcrcc}ax&+&y&+&z&=&4\\x&+&by&+&z&=&3\\x&+&2by&+&z&=&4\end{array}}\end{cases}}}$
   
   Для каких значений ${\displaystyle \ a,b}$ существует:
   1. единственное решение?
   2. бесконечное множество решений? В случае, если у системы имеется бесконечное множество решений, запишите его в общем виде.
2. Дана система уравнений:
   
   ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}ax&+&by&=&0\\cx&+&dy&=&0\end{array}}\end{cases}}(*)}$
   
   
   1. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, что у системы имеется только тривиальное решение, является ${\displaystyle \ ad-bc\neq 0}$.
   2. Предположем, что ${\displaystyle \ A\neq 0}$ и ${\displaystyle \ ad-bc=0}$.
      1. Докажите, что у системы есть бесконечное множество решений.
      2. Предположим, ${\displaystyle \ (x_{0},~y_{0})}$ какое-то нетривиальное решение системы ${\displaystyle \ (*)}$. Докажите, что ${\displaystyle S=\left\{(\lambda x_{0},~\lambda y_{0})~|~\lambda \in \mathbb {R} \right\}}$ является множеством решений системы.
3. Предположим ${\displaystyle u,v,w}$ линейно-независимые векторы в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. В каждом из нижеперечисленных случаев покажите являются ли векторы линейно-независимыми:
   1. ${\displaystyle \ u-v-w,~u+v-2w,~u+w}$
   2. ${\displaystyle \ u+3v-w,~u+v-3w,~v+w}$.

1. Покажите, что линейная оболочка векторов ${\displaystyle u_{1}=\left(1,~1,~1\right),u_{2}=\left(1,~2,~3\right),u_{3}=\left(1,~5,~8\right)}$ совпадает с пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
   • Мы должны показать, что произвольный вектор ${\displaystyle v=\left(a,~b,~c\right)}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ — линейная комбинация векторов ${\displaystyle \ ~u_{1},~u_{2},~u_{3}}$, то есть
     
     ${\displaystyle \ v=xu_{1}+yu_{2}+zu_{3}}$
     
     или, другими словами,
     
     ${\displaystyle \left(a~,b,~c\right)=x\left(1,~1,~1\right)+y\left(1,~2,~3\right)+z\left(1,~5,~8\right)=\left(x+y+z,~x+2y+5z,~x+3y+8z\right)}$
     
     Составим эквивалентную систему и приведем её к треугольному виду:
     
     ${\displaystyle {\begin{cases}x+y+z=a\\x+2y+5z=b\\x+3y+8z=c\end{cases}}~\longrightarrow ~{\begin{cases}x+y+z=a\\y+4z=b-a\\2y+7z=c-a\end{cases}}~\longrightarrow ~{\begin{cases}x+y+z=a\\y+4z=b-a\\z=-c+2b-a=\end{cases}}}$
     
     Очевидно, что данная система совместна и имеет единственное решение: ${\displaystyle \ x=-a+5b-3c,~y=3a-7b+4c,~z=-a+2b-c}$.
     
     Следовательно, произвольный вектор из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ является линейной комбинацией векторов ${\displaystyle \ ~u_{1},~u_{2},~u_{3}~}$, т.е. линейная оболочка этих векторов совпадает со всем пространством.

↑====Задачи====

1. Найти тригонометрическое представление комплексного числа ${\displaystyle \ i-1}$.

   • Для начала запишем ${\displaystyle \ i-1}$ в стандартном виде (${\displaystyle \ z=a+bi}$).

     Используем формулу ${\displaystyle \ r(\cos {\Theta }+i\sin {\Theta })}$ для тригонометрического представление комплексного числа.

     Используем формулу ${\displaystyle \ r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ и найдём ${\displaystyle \ r}$. ${\displaystyle \ r={\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}}$. ${\displaystyle \cos {\Theta }\ r=\ a}$.
     ${\displaystyle \cos {\Theta }*{\sqrt {2}}=-1}$
     ${\displaystyle \cos {\Theta }=-{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}=-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$
2. Доказать ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {a+ib}{b+ia}}\end{vmatrix}}=1}$.
3. Доказать ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {a+ib}{a-ib}}\end{vmatrix}}=1}$.
   • ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {a+ib}{a-ib}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {(a+ib)(a+ib)}{(a+ib)(a-ib)}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {a^{2}+2abi-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\dfrac {2ab}{a^{2}+b^{2}}}i\end{vmatrix}}=}$
     
     ${\displaystyle ={\sqrt {{\dfrac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}+{\dfrac {4a^{2}b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}i}}={\sqrt {\dfrac {a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}+4a^{2}b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}={\sqrt {\dfrac {a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}}{a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}}}}=}$
     
     ${\displaystyle ={\sqrt {1}}=1}$.

1. Докажите или опровергните: ${\displaystyle \mathbb {R} _{4}\left[x\right]=Sp{\big \{}x^{2}-x^{3},x-x^{3}{\big \}}\oplus Sp{\big \{}x^{2}+1,x+2{\big \}}}$.
   • Во-первых,

1. Найдите базис для пространства решений гомогенной системы уравнений:
   
   ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcrcrcc}x_{1}&+&x_{2}&+&x_{3}&-&x_{4}&=&0\\x_{1}&+&2x_{2}&+&x_{3}&-&2x_{4}&=&0\\3x_{1}&+&4x_{2}&+&3x_{3}&-&4x_{4}&=&0\\2x_{1}&+&3x_{2}&+&2x_{3}&-&3x_{4}&=&0\end{array}}\end{cases}}}$

1. Пусть U и W следующие подпространства ${\displaystyle \mathbb {R} _{4}[x]}$:
   
   ${\displaystyle \ U=Sp\{x^{3}+4x^{2}-x+3,x^{3}+5x^{2}+5,3x^{3}+10x^{2}+5\}}$
   
   ${\displaystyle \ W=Sp\{x^{3}+4x^{2}+6,x^{3}+2x^{2}-x+5,2x^{3}+2x^{2}-3x+9\}}$
   
   
   1. Найдите базис и размерность для ${\displaystyle \ U,W,U+W}$
      .
   2. Найдите ${\displaystyle \dim {(U\cap W)}}$. Найдите базис ${\displaystyle U\cap W}$.
      
2. Докажите, что множество ${\displaystyle \mathrm {B} ={\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\end{Bmatrix}}}$ является базисом для ${\displaystyle M_{(2\times 2)}^{\mathbb {R} }}$.
   
   • Во-первых, докажем, что данное множество матриц ${\displaystyle \mathrm {B} }$ линейно-независимо. Для этого исследуем линейную комбинацию матриц-членов В равную нуль-матрице:
     
     ${\displaystyle \lambda _{1}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\lambda _{4}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$ (*)
     
     или
     
     ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}+\lambda _{2}&2\lambda _{1}+\lambda _{3}\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}&\lambda _{2}+\lambda _{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$.
     
     Полученное равенство равнозначно системе уравнений:
     
     ${\displaystyle {\begin{cases}\lambda _{1}+\lambda _{2}=0\\2\lambda _{1}+\lambda _{3}=0\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}=0\\\lambda _{2}+\lambda _{4}=0\end{cases}}}$
     
     У данной системы есть единственное и притом тривиальное решение, то есть множество В, состоящее из четырёх членов, линейно-независимо в пространстве, размерность которого равна 4 (${\displaystyle \dim(M_{(2\times 2)}^{\mathbb {R} })=4}$). То есть, В является базисом ${\displaystyle M_{(2\times 2)}^{\mathbb {R} }}$.
3. Найдите координаты матриц ${\displaystyle \mathrm {M} _{1}={\begin{bmatrix}1&7\\1&-1\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}={\begin{bmatrix}3&3\\1&-1\end{bmatrix}}}$ относительно упорядоченного базиса ${\displaystyle \mathrm {B} ={\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\end{Bmatrix}}}$.
   
   • a) Найдем коэффициенты ${\displaystyle \ ~\lambda _{1},~\lambda _{2},~\lambda _{3},~\lambda _{4}}$, для которых
     
     ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}={\begin{bmatrix}1&7\\1&-1\end{bmatrix}}=\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\lambda _{4}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}+\lambda _{2}&2\lambda _{1}+\lambda _{3}\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}&\lambda _{2}+\lambda _{4}\end{bmatrix}}}$
     
     Это равенство выполняется при условии, что:
     
     ${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcrcrcc}\lambda _{1}&+&\lambda _{2}&=&1\\2\lambda _{1}&+&\lambda _{3}&=&7\\2\lambda _{2}&+&\lambda _{3}&=&1\\\lambda _{2}&+&\lambda _{4}&=&-1\end{array}}\end{cases}}}$
     
     Единственным решением данной системы будет ${\displaystyle \left(2,-1,3,0\right)}$. Следовательно, ${\displaystyle \left[\mathrm {M} _{1}\right]_{\mathrm {B} }={\begin{bmatrix}2\\-1\\3\\0\end{bmatrix}}}$
     
     b) Подобным способом представим матрицу ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}}$ как линейную комбинацию матриц-членов базиса В:
     
     ${\displaystyle \mathrm {M} _{2}={\begin{bmatrix}3&3\\1&-1\end{bmatrix}}=\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\lambda _{4}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}+\lambda _{2}&2\lambda _{1}+\lambda _{3}\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}&\lambda _{2}+\lambda _{4}\end{bmatrix}}}$
     
     Запишем систему:
     
     ${\displaystyle {\begin{cases}\lambda _{1}+\lambda _{2}=3\\2\lambda _{1}+\lambda _{3}=3\\2\lambda _{2}+\lambda _{3}=1\\\lambda _{2}+\lambda _{4}=-1\end{cases}}}$
     
     Единственным решением данной системы будет ${\displaystyle \left(2,1,-1,-2\right)}$. Следовательно, ${\displaystyle \left[\mathrm {M} _{2}\right]_{\mathrm {B} }={\begin{bmatrix}2\\1\\-1\\-2\end{bmatrix}}}$ .
     

1. Определим отображение ${\displaystyle T:R^{n}\to R_{n}[x]}$ из пространства ${\displaystyle \ R^{n}}$ в ${\displaystyle \ R_{n}[x]~}$ :

   для любого вектора ${\displaystyle \ ~{\underline {a}}=(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\in R^{n}~}$,

   ${\displaystyle \ T({\underline {a}})=\alpha _{1}+\alpha _{2}x+\cdots +\alpha _{n}x^{n-1}~}$.

   Докажите, что отображение ${\displaystyle T:R^{n}\to R_{n}[x]~}$

   1. ${\displaystyle {\underline {a}},{\underline {b}}\in R^{n}}$