Основы теоретической физики/Приведенная масса

Еще одной важной задачей механики, которую можно решить в общем виде, является «задача двух тел». Прежде чем перейти к решению этой задачи покажем, что ее можно существенно упростить если рассматривать движение относительно центра инерции системы.

Запишем функцию Лагранжа системы из двух материальных точек в декартовых координатах:

${\displaystyle L={\frac {m_{1}{\dot {r}}_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}{\dot {r}}_{2}^{2}}{2}}-U\left({\big \vert }{\overrightarrow {r}}_{1}-{\overrightarrow {r}}_{2}{\big \vert }\right)}$ (1.4.16)

Если поместить начало координат в центр инерции, то из   (1.2.31)    получим:

${\displaystyle {\frac {\sum \limits _{a}{m_{a}{{\overrightarrow {r}}_{a}}}}{\sum \limits _{a}m_{a}}}=0\Rightarrow m_{1}{{\overrightarrow {r}}_{1}}+m_{2}{\overrightarrow {r}}_{2}=0}$ (1.4.17)

Если обозначить расстояние между точками ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}_{1}-{\overrightarrow {r}}_{2}}$, то с помощью   (1.4.17)   , радиус-векторы точек можно выразить через одну и ту же переменную и подставить полученные выражения в функцию Лагранжа   (1.4.16)   :

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{{\overrightarrow {r}}_{1}}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\overrightarrow {r}}\\&{{\overrightarrow {r}}_{2}}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\overrightarrow {r}}\\&\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\\end{aligned}}\right\}\Rightarrow L={\frac {\mu {{\dot {r}}^{2}}}{2}}-U(r)}$ (1.4.18)

Величина ${\displaystyle \mu }$ в   (1.4.18)   , называется «приведенной массой». Как видно, формула   (1.4.18)    совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой ${\displaystyle \mu }$, движущейся в поле с потенциальной энергией U(r). Решением уравнения движения будет траектория ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}(t){\text{,}}}$ из которой, по формулам   (1.4.18)   , можно найти траектории каждой точки (${\displaystyle {\overrightarrow {r}}_{1}(t)}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}_{2}(t)}$).

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление