Основы теоретической физики/Четырёхмерный импульс

Используя принцип наименьшего действия, энергию и импульс частицы можно получить в четырехмерном виде. Приравняем к нулю вариацию действия и воспользуемся определением интервала через 4-вектор:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.46)

Используя определение 4-скорости и проинтегрировав  (2.3.46) 

по частям, получим:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.47)

Если мировые точки начального и конечного события точно заданы, то первое слагаемое в правой части  (2.3.47) 

будет равно нулю, тогда для второго слагаемого получаем:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.48)

То есть 4-ускорение свободной частицы остается равным нулю, а 4-скорость остается постоянной при любом свободном движении в четырехмерном пространстве. В четырехмерном пространстве свободная частица движется прямолинейно и равномерно.

Можно найти вариацию как функцию 4-вектора если считать точно заданной начальную мировую точку и переменной – конечную:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.49)

Подставляя  (2.3.49) 

в  (2.3.47) 
и учитывая  (2.3.48) 

, получим зависимость действия от 4-вектора координат и от 4-скорости:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.50)

По определению, 4-импульсом частицы называют взятую со знаком «минус» производную действия по 4-вектору координаты. Эту производную можно найти из формулы  (2.3.50) 

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.51)

То есть вариация действия может быть записана как скалярное произведение 4-импульса на вариацию 4-вектора координаты (со знаком «минус»):

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.52)

Иногда удобно использовать запись 4-импульса по компонентам:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.53)

Для контрвариантного 4-импульса можно записать аналогичную формулу:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.54)

Воспользовавшись общими формулами для 4-векторов  (2.3.2)  , из  (2.3.54) 

получим преобразования для импульса при переходе от одной системы отсчета к другой:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.55)

Можно также определить 4-силу которая действует на релятивистскую частицу как производную 4-импульса по интервалу:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.56)

Компоненты 4-силы можно записать и через «классические» трехмерные силу и скорость:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.3.57)

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление