Основы теоретической физики/Четырёхмерный потенциал поля

Экспериментально установлено, что энергия частицы в электромагнитном поле, пропорциональна электрическому заряду этой частицы q, а также пропорциональна некоторой функции координат и времени, которую называют «потенциалом». Также известно, что любой электрический заряд пропорционален элементарному заряду, равному заряду электрона e. Поэтому энергию заряженной частицы в бесконечно малом электромагнитном поле можно записать следующим образом:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.1)

В правой части  (2.4.1) 

стоит функция координат и времени, поэтому для потенциала удобно использовать запись через скалярное произведение двух 4-векторов:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.2)

Четырехмерный вектор A_i – называется «4-потенциал поля». Этот вектор можно расписать по компонентам:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.3)

При такой записи 4-потенциал разделяется на «скалярный потенциал» ${\displaystyle \varphi }$ и «векторный потенциал» поля ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$. Заметим из  (2.4.2) 

, что скалярный и векторный потенциалы могут быть функциями от трехмерных координат и от времени. 

Заметим также, что входящая в  (2.4.2) 

 функция ${\displaystyle f({\overrightarrow {r}},t)}$ - не определена однозначно, то есть на компоненты 4-потенциала  (2.4.3) 
 можно накладывать некоторые дополнительные условия. Например, к функции ${\displaystyle f({\overrightarrow {r}},t)}$ можно прибавить произвольную функцию от координат ${\displaystyle k({\overrightarrow {r}})}$, это будет эквивалентно прибавлению к векторному потенциалу градиента ${\displaystyle \triangledown k({\overrightarrow {r}})}$.

Найдем действие для свободной заряженной частицы в электромагнитном поле. Вклад поля в действие должен быть пропорционален энергии, значит получаем:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.4)

В формуле  (2.4.4) 

 действие Smf – это действие, обусловленное наличием энергии взаимодействия электромагнитного поля с зарядом частицы. Поскольку 4-потенциал поля можно определить с точностью до произвольного коэффициента пропорциональности, то определим этот коэффициент так, как его принято определять по историческим причинам: ${\displaystyle -{\frac {1}{c}}}$. В таком случае полное действие запишется формулой:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.5)

Через скалярный и векторный потенциалы формула  (2.4.5) 

 может быть записана в трехмерном виде:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.6)

Поскольку действие определено как интеграл от функции Лагранжа, то переходя в  (2.4.6) 

 к интегрированию по времени, получим:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.7)

Формула  (2.4.7) 

 определяет функцию Лагранжа свободной заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле.

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление