Теория функций действительного переменного/Ортогональные системы функций

В данной главе приводятся лишь основные факты о рядах по тригонометрическим системам. Условия сходимости этих рядов и доказательство полноты тригонометрических систем рассмотрены отдельно.

Рассмотрим пространство ${\displaystyle L_{2}[-\pi ;\pi ]}$ функций с интегрируемым квадратом на отрезке ${\displaystyle [-\pi ;\pi ]}$ с мерой Лебега. В этом пространстве функции

${\displaystyle ~1,~\cos(x),~\sin(x),~...,~\cos(nx),~\sin(nx),~...}$

образуют полную ортогональную систему, которую называют тригонометрической. Ряд по этой системе называют рядом Фурье (в узком смысле). Ортогональность этой системы можно проверить прямым вычислением (при ${\displaystyle n\neq m}$), используя тригонометрические тождества:

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }1\cdot \cos(nx)dx=-{1 \over n}{\Bigl .}\sin(nx){\Bigr |}_{-\pi }^{\pi }=0}$,

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin(nx)dx={1 \over n}{\Bigl .}\cos(nx){\Bigr |}_{-\pi }^{\pi }=0}$,

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)\cos(mx)dx={1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left[{\cos((n+m)x)+\cos((n-m)x)}\right]dx=0}$,

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\sin(mx)dx={1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left[{\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)}\right]dx=0}$,

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)\cos(mx)dx={1 \over 2}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left[{\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)}\right]dx=0}$.

Данная система функций не является нормированной, действительно:

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }1^{2}dx=2\pi }$,

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2}(x)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{1+\cos(2x)} \over 2}dx=\pi }$,

${\displaystyle \int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin ^{2}(x)dx=\int \limits _{-\pi }^{\pi }{{1-\cos(2x)} \over 2}dx=\pi }$.

Соответствующая нормированная система состоит из функций:

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\pi }}},~{\cos(nx) \over {\sqrt {\pi }}},~{\sin(nx) \over {\sqrt {\pi }}},~n=1,2,...}$.

Ряд Фурье функции ${\displaystyle f}$ по тригонометрической системе записывают в виде

${\displaystyle {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}cos(nx)+b_{n}\sin(bx)\right)}$.

Коэффициенты этого рядка вычисляются по формулам:

${\displaystyle a_{0}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx}$,

${\displaystyle a_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\cos(nx)f(x)dx}$,

${\displaystyle b_{n}={1 \over \pi }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\sin(nx)f(x)dx}$.

Ряд Фурье можно построить на любом отрезке вида ${\displaystyle [-l;l]}$, где ${\displaystyle l}$ — произвольное положительное вещественное число. Сделаем следующую замену

${\displaystyle x={{\pi t} \over l}}$.

Если функция ${\displaystyle f}$ является функцией с суммируемым на отрезке ${\displaystyle [-l;l]}$ квадратом, то функция

${\displaystyle f_{1}(x)=f\left({{\pi x} \over l}\right)}$

будет функцией с интегрируемым квадратом, определённой на отрезке ${\displaystyle [-\pi ;\pi ]}$.

Ряд Фурье примет вид

${\displaystyle {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos \left({{n\pi x} \over l}\right)+b_{n}\sin \left({{n\pi x} \over l}\right)\right)}$.

Коэффициенты будут определяться следующими формулами:

${\displaystyle a_{0}={1 \over l}\int \limits _{-l}^{l}f(x)dx}$,

${\displaystyle a_{n}={1 \over l}\int \limits _{-l}^{l}\cos \left({{n\pi x} \over l}\right)f(x)dx}$,

${\displaystyle b_{n}={1 \over l}\int \limits _{-l}^{l}\sin \left({{n\pi x} \over l}\right)f(x)dx}$.