Язык Си в примерах/Система счисления

Число 235 в десятичной системе счисления есть

${\displaystyle 235_{10}=2\cdot 10^{2}+3\cdot 10+5\,\!}$

Число 235 в восьмеричной системе счисления есть

${\displaystyle 235_{8}=2\cdot 8^{2}+3\cdot 8+5\,\!}$

Пусть ${\displaystyle Q}$ — натуральное число. Тогда представить число ${\displaystyle N}$ в Q-ичной системе счисления означает представить число ${\displaystyle N}$ в виде суммы различных степеней ${\displaystyle Q}$ с целыми коэффициентами из диапазона ${\displaystyle [0;Q-1]}$:

${\displaystyle N=a_{0}\cdot Q^{0}+a_{1}\cdot Q^{1}+a_{2}\cdot Q^{2}+...\,\!}$

Q-ичная запись числа ${\displaystyle N}$ — это набор коэффициентов ${\displaystyle (a_{m},a_{m-1},...,a_{0})\,\!}$,где ${\displaystyle a_{m}\,\!}$ — последний ненулевой коэффициент.

1. Докажите методом математической индукции, что это разложение существует и единственно. Для тренировки разберите отдельно случай ${\displaystyle Q=2}$: любое натуральное число представляется в виде суммы различных степеней двойки и притом единственным образом.

Примеры:

• ${\displaystyle 1_{10}=1_{2}\,\!}$
• ${\displaystyle 2_{10}=0\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}=10_{2}\,\!}$
• ${\displaystyle 3_{10}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}=11_{2}\,\!}$
• ${\displaystyle 4_{10}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}=100_{2}\,\!}$
• ${\displaystyle 5_{10}=1\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}=101_{2}\,\!}$
• ${\displaystyle 15_{10}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}=1111_{2}\,\!}$
• ${\displaystyle 16_{10}=0\cdot 2^{0}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}=10000_{2}\,\!}$
• ${\displaystyle 255_{10}=1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{4}+1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{6}+1\cdot 2^{7}=11111111_{2}\,\!}$

2. Что делает приведённая ниже программа?

#include <stdio.h>
void main ()
{
    int n; 
    scanf ("%d", &n);
    while(n)
    {
        printf("%d", n%2);
        n /= 2;
    }
}

3. Напишите программу, которая введённое натуральное (число в десятичной записи) переводит в восьмеричную систему счисления.