Sequence Dahlia

0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	3	11	51	307	2451	26387

row sums of OakDrop

🌊 triangle Oak (A022166) row sums Daisy (A006116)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1								1
1	1	1							2
2	1	3	1						5
3	1	7	7	1					16
4	1	15	35	15	1				67
5	1	31	155	155	31	1			374
6	1	63	651	1395	651	63	1		2825
7	1	127	2667	11811	11811	2667	127	1	29212

row sums of Aspen

Pascal with columns multiplied by Aster

PascalDrop with columns multiplied by Aster

row sums of Alder

🌊 triangle TwistedAsh row sums Daisy (A006116)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1								1
1	1	1							2
2	2	2	1						5
3	6	6	3	1					16
4	26	24	12	4	1				67
5	158	130	60	20	5	1			374
6	1330	948	390	120	30	6	1		2825
7	15414	9310	3318	910	210	42	7	1	29212

data

	0	1	2	3	4	5	6	7
🌊 Daisy	1	2	5	16	67	374	2825	29212
💧 Dahlia	1	1	3	11	51	307	2451	26387

$\mathrm {Daisy} (n)~~=~~\sum _{i=0}^{n}\mathrm {Dahlia} (i)$
${\begin{matrix}\mathrm {Daisy} (n)&~~=~~&\sum _{i=0}^{n}\mathrm {Dahlia} (i)\\\\\mathrm {Daisy} (5)&~~=~~&\mathrm {Dahlia} (0)~+~...~+~\mathrm {Dahlia} (5)\\374&~~=~~&1+1+3+11+51+307\end{matrix}}$

$\mathrm {Dahlia} (n)~~=~~\mathrm {Daisy} (n-1)~+~(2^{n-1}-1)\cdot \mathrm {Daisy} (n-2)$
${\begin{matrix}\mathrm {Dahlia} (n)&~~=~~&\mathrm {Daisy} (n-1)&~+~&(2^{n-1}-1)&\cdot &\mathrm {Daisy} (n-2)\\\\\mathrm {Dahlia} (6)&~~=~~&\mathrm {Daisy} (5)&~+~&2^{5}-1&\cdot &\mathrm {Daisy} (4)\\2451&~~=~~&374&~+~&31&\cdot &67\end{matrix}}$

Sequence ShortDahlia

0	1	2	3	4	5	6	7
1	3	11	51	307	2451	26387	387987

row sums of ExOak

Oak with columns multiplied by powers of two

🌊 triangle ExOak (~A289537) row sums ShortDahlia (A182176)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	1 · 1 1	1 · 2 2							3
2	1 · 1 1	3 · 2 6	1 · 4 4						11
3	1 · 1 1	7 · 2 14	7 · 4 28	1 · 8 8					51
4	1 · 1 1	15 · 2 30	35 · 4 140	15 · 8 120	1 · 16 16				307
5	1 · 1 1	31 · 2 62	155 · 4 620	155 · 8 1240	31 · 16 496	1 · 32 32			2451
6	1 · 1 1	63 · 2 126	651 · 4 2604	1395 · 8 11160	651 · 16 10416	63 · 32 2016	1 · 64 64		26387
7	1 · 1 1	127 · 2 254	2667 · 4 10668	11811 · 8 94488	11811 · 16 188976	2667 · 32 85344	127 · 64 8128	1 · 128 128	387987

OakDrop with columns multiplied by powers of two

💧 triangle ExOakDrop row sums ShortDahliaDrop
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	sums
0	1 · 1 1								1
1	0	1 · 2 2							2
2	0	2 · 2 4	1 · 4 4						8
3	0	4 · 2 8	6 · 4 24	1 · 8 8					40
4	0	8 · 2 16	28 · 4 112	14 · 8 112	1 · 16 16				256
5	0	16 · 2 32	120 · 4 480	140 · 8 1120	30 · 16 480	1 · 32 32			2144
6	0	32 · 2 64	496 · 4 1984	1240 · 8 9920	620 · 16 9920	62 · 32 1984	1 · 64 64		23936
7	0	64 · 2 128	2016 · 4 8064	10416 · 8 83328	11160 · 16 178560	2604 · 32 83328	126 · 64 8064	1 · 128 128	361600