Основы теоретической физики/Законы преобразования момента импульса

Покажем, что значение момента импульса зависит от выбора начала координат. Рассмотрим две системы отсчета ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K^{\prime }}$, которые смещены относительно друг друга на вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$. Значит для наблюдателя в одной системе отсчета, все точки замкнутой системы будут смещены на этот вектор:

${\displaystyle {\overrightarrow {r}}_{a}={\overrightarrow {r}}_{a}^{\prime }+{\overrightarrow {a}}}$ (1.2.35)

Подставим  (1.2.35) 

в определение момента   (1.2.27) 

 :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overrightarrow {M}}=\sum \limits _{a}{\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}=\underbrace {\sum \limits _{a}{\left[{{{\overrightarrow {r}}'}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}} _{{\overrightarrow {M}}'}+\left[{\overrightarrow {a}}\times \sum \limits _{a}{{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]\\&{\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {M}}'+\left[{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {P}}\right]\\\end{aligned}}}$ (1.2.36)

Таким образом, из  (1.2.36) 

видно, что момент импульса не зависит от выбора начала координат только в случае, если система отсчета покоится (только если ${\displaystyle {\overrightarrow {P}}=0}$).

Найдем теперь закон преобразования момента импульса при переходе из одной системы отсчета в другую. Для этого предположим, что система отсчета ${\displaystyle K^{\prime }}$ движется относительно системы отсчета ${\displaystyle K}$ с постоянной скоростью ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$. Тогда скорости всех точек будут связаны соотношением:

${\displaystyle {{\overrightarrow {v}}_{a}}={{\overrightarrow {v}}_{a}}^{\prime }+{\overrightarrow {V}}}$ (1.2.37)

Если мы рассмотрим момент времени, когда начала координат систем отсчета ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle K^{\prime }}$ совпадают, то подставляя  (1.2.37) 

в   (1.1.27) 

 , а также используя формулы для массы  (1.2.30) 

и центра инерции  (1.2.31) 

, получим:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overrightarrow {M}}=\sum \limits _{a}{\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{\overrightarrow {p}}_{a}}\right]}=\underbrace {\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {{{\overrightarrow {v}}'}_{a}}\right]}} _{{\overrightarrow {M}}'}+\sum \limits _{a}{{{m}_{a}}\left[{{\overrightarrow {r}}_{a}}\times {\overrightarrow {V}}\right]}\\&{\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {M}}'+\mu \left[{\overrightarrow {R}}\times {\overrightarrow {V}}\right]\\\end{aligned}}}$ (1.2.38)

Полученное выражение  (1.2.38) 

определяет закон преобразования момента импульса, который можно переписать в виде:

${\displaystyle {\overrightarrow {M}}={\overrightarrow {M}}'+\left[{\overrightarrow {R}}\times {\overrightarrow {P}}\right]}$ (1.2.39)

Другими словами, момент импульса замкнутой механической системы складывается из ее собственного момента (относительно покоящейся системы отсчета) и момента ${\displaystyle \left[{\overrightarrow {R}}\times {\overrightarrow {P}}\right]}$, связанного с движением системы как целого.

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление