пля-са́ть под (чью-то) ду́д-ку

Устойчивое сочетание (фразеологизм). Используется в качестве глагольной группы.

Происходит из древней Греции. Геродот приводит такой эпизод из жизни персидского царя Кира.

Когда Кир покорял греков-мидян, то малоазийские греки, которых он раньше безуспешно склонял к союзу с Персией, поспешили заявить о своем согласии. Тогда персидский царь рассказал их посланцам басню, которую приписывают древнегреческому баснописцу Эзопу (VI в. до н. э.): «Один флейтист, увидевши рыб в море, стал играть на флейте, ожидая, что они выйдут к нему на сушу. Обманувшись в надежде, он взял сеть, закинул ее и вытащил множество рыб. Видя, как рыбы бьются в сетях, он сказал им: „Перестаньте плясать; когда я играл на флейте, вы не хотели выходить и плясать“».