Основы теоретической физики/Тензор энергии-импульса

Выражение для энергии электромагнитного поля  (2.4.93) 

и  (2.4.94) 
можно вывести в четырехмерном виде. Для простоты будем рассматривать поле без зарядов и проделаем выкладки в общем виде, чтобы полученные формулы можно было применять в дальнейшем не только к электромагнитным, но и к любым другим полям, в том числе к полю гравитации.

Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для которой имеет вид подобный рассмотренной нами ранее формуле (2.4.41):

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.117)

Интегрирование ведется по четырехмерному объему, а подынтегральная функция зависит от некоторых величин q и их производных от координат и времени. Эти величины (и их производные) полностью определяют механическое состояние системы. Другими словами, функцию ${\displaystyle \Lambda }$ можно назвать четырехмерным аналогом функции Лагранжа. Следует отдельно отметить, что здесь мы считаем функцию ${\displaystyle \Lambda }$ не зависящей явно 4-вектора Xⁱ также как классическую функции Лагранжа мы считали не зависящей явно от времени. Далее для краткости будем обозначать производные:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.118)

Применим для  (2.4.117) 

принцип наименьшего действия, приравняв к нулю вариацию действия:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.119)

Ко второму члену в  (2.4.119) 

можно применить четырехмерный аналог теоремы Гаусса как мы это делали ранее в формуле  (2.4.76) 

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.120)

Нас интересуют физические поля, которые равны нулю в бесконечности. Поскольку интегрирование ведется по всему пространству, интеграл  (2.4.120) 

будет равен нулю. Таким образом, формула  (2.4.119) 
приобретает вид:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.121)

Равенство нулю интеграла означает равенство нулю подынтегрального выражения:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.122)

Легко заметить, что уравнения  (2.4.122) 

являются четырехмерным обобщением классических уравнений Лагранжа  (1.1.24) 

. Пользуясь такой аналогией, проведем преобразования, аналогичные тем, которые мы проводили при выводе закона сохранения энергии в классической механике.

Найдем частную производную функции ${\displaystyle \Lambda }$:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.123)

Подставим  (2.4.122) 

в  (2.4.123) 

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.124)

Заметим теперь, что  (2.4.124) 

можно сгруппировать как производную произведения:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.125)

Левую часть равенства  (2.4.125) 

можно переписать, используя дельта-символ:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.126)

Подставим  (2.4.126) 

в  (2.4.125) 
и перенесем все в одну часть равенства:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.127)

Обозначим выражение в скобках как тензор второго ранга:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.128)

Тогда  (2.4.127) 

перепишется в виде:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.129)

Левая часть выражения  (2.4.129) 

— это тензорный аналог дивергенции. Как было показано при выводе уравнения непрерывности  (2.4.63) 

, равенство нулю дивергенции означает, что сохраняется соответствующий интеграл по поверхности:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.130)

Постоянный в замкнутой системе вектор Pⁱ, будем считать 4-импульсом системы. Коэффициент пропорциональности ${\displaystyle \alpha }$, нужно выбрать так, чтобы определение 4-импульса  (2.4.130) 

совпадало с определением  (2.3.54) 

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.131)

Проще всего найти коэффициент ${\displaystyle \alpha }$ если рассмотреть временную компоненту 4-импульса. Найдем ${\displaystyle {P}^{0}={\frac {E}{c}}}$, из определения  (2.4.130) 

считая время постоянным. Тогда интегрировать нужно по трехмерному пространству. Учитывая, что четырехмерная поверхность – это объем в трехмерном пространстве, получаем:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.132)

С другой стороны, из  (2.4.128) 

имеем:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.133)

Если теперь сравнить  (2.4.133) 

и классическое определение энергии через функцию Лагранжа  (1.2.5) 

, то величину T⁰₀ - тоже можно было бы отождествить с энергией. Однако величина T⁰₀ в  (2.4.132) 

интегрируется по объему, значит это не просто энергия, а «плотность энергии» системы, то есть энергия, приходящаяся на единицу объема. 

Коэффициент ${\displaystyle \alpha }$ теперь легко находится:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.134)

Окончательно для 4-импульса получаем выражение:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.135)

Тензор (2.4.128), который стоит в подынтегральном выражении  (2.4.135)  , называется «тензором энергии-импульса» системы. Выражение  (2.4.129) 

является четырехмерным аналогом закона сохранения энергии.

Если проинтегрировать  (2.4.135) 

по гиперплоскости ${\displaystyle X^{0}={\text{const}}}$, то выражение для 4-импульса приобретает вид:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.136)

Где интегрирование ведется по всему трехмерному пространству. Сравним этот интеграл с  (2.4.130) 

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.137)

Видно, что вектор с компонентами ${\displaystyle \left({\frac {{T}^{10}}{c}},{\frac {{T}^{20}}{c}},{\frac {{T}^{30}}{c}}\right)}$ - имеет смысл плотности импульса, а величина T⁰⁰ - плотности энергии системы.

По аналогии с классической механикой, можно определить «тензор момента импульса» системы следующим интегралом:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.138)

Закон сохранения момента импульса в формулировке для четырехмерного пространства будет выглядеть как равенство константе всех компонент  (2.4.138) 

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.139)

Сохранение интеграла по поверхности  (2.4.139) 

означает равенство нулю дивергенции от подынтегрального выражения, воспользовавшись  (2.4.130) 
получим:

${\displaystyle Undefined~formula}$ формулы (2.4.140)

То есть чтобы выполнялся закон сохранения момента импульса  (2.4.139)  , тензор энергии-импульса  (2.4.128) 

должен быть симметричным

<<Назад  |  Далее>>
Оглавление